، عملگر گشتاور دوقطبی‌الکتریکی و میدان الکترومغناطیسی خارجی است. با انتگرال‌گیری از رابطه‌ی (۴-۲۱) و استفاده از تعریف (۴-۱۹) خواهیم داشت:
(۴-۲۲)
با توجه به رابطه‌ی جابه‌جایی:
(۴-۲۳)
می‌توان نوشت:
(۴-۲۴)
این رابطه یک مجموعه از معادلات را در بر می‌گیرد. برای حل مجموعه‌ی معادلات فوق از روش تکرار استفاده می‌کنیم. بدین ترتیب، با حل معادله‌ی (۴-۱۷)، به راحتی محاسبه می‌شود. با قرار دادن در رابطه‌ی (۴-۲۴)، به‌دست می‌آید. با تکرار این فرایند می‌توان مرتبه‌های مختلف ماتریس چگالی را بدست آورد.
( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
محاسبه‌ی ضرایب جذب و شکست خطی و غیر خطی مرتبه‌ی سوم
در این قسمت، ابتدا تصحیح مرتبه‌ی اول ماتریس چگالی را بدست آورده و به کمک آن پذیرفتاری خطی را محاسبه می‌کنیم. سپس با بهره گرفتن از روش تکرار تصحیح مرتبه‌ی دوم و سوم ماتریس چگالی را محاسبه کرده و پذیرفتاری مرتبه‌ی سوم را از آن استخراج می‌نماییم. در آخر تغییرات ضرایب جذب و شکست خطی و غیرخطی را محاسبه می‌کنیم.
محاسبه‌ی پذیرفتاری خطی
پذیرفتاری خطی نقطه‌ی کوانتومی را می‌توان به عنوان اولین کاربرد جواب اختلالی معادله‌ی تحول زمانی ماتریس چگالی، مورد بررسی قرار داد.
با توجه به رابطه‌ی (۴-۲۲) تصحیح مرتبه‌ی اول ماتریس چگالی را می‌توان به شکل زیر نوشت:
(۴-۲۵)
با قرار دادن میدان الکتریکی و همچنین محاسبه شده از رابطه‌ی (۴-۱۷) در معادله‌ی
(۴-۲۵) نتیجه می‌گیریم که:
(۴-۲۵)
از آن جا که عناصر غیر قطری ماتریس چگالی مختل نشده برابر با صفر می‌باشد، رابطه‌ی بالا را می‌توان ساده‌تر نمود. بنابراین، خواهیم داشت:
(۴-۲۷)
که در آن
(۴-۲۸)
در اثر اعمال میدان خارجی محیط قطبیده می‌شود. این قطبیدگی با متوسط گشتاور دو قطبی در واحد حجم متناسب بوده و می‌توان آن را بر حسب ماتریس چگالی و ماتریس گشتاور دو قطبی به شکل زیر نوشت:
(۴-۲۹)
تعداد حامل‌ها در واحد حجم و متوسط عملگر گشتاور دو قطبی الکتریکی است. علاوه بر این در اپتیک خطی، ارتباط بین قطبیدگی و میدان الکترومغناطیسی خارجی به صورت خطی است. در نتیجه:
(۴-۳۰)
ک غیرخطی ارتباط بین و بسیار پیچیده‌تر از رابطه‌ی (۴-۳۰) است. در یک محیط غیرخطی همسانگرد، چون جهت قطبیدگی با جهت میدان الکتریکی یکی است، رابطه‌ی کلی بین قطبیدگی و میدان تابشی را می‌توان با بهره گرفتن از بسط اختلالی (۴-۱۶) به سادگی به شکل زیر نوشت[۶۱-۶۲]:
(۴-۳۱)
در این بسط و به ترتیب، پذیرفتاری و قطبیدگی مرتبه‌ی -ام می‌باشند. حال با بهره گرفتن از رابطه‌های (۴-۲۹) و (۴-۳۱) قطبش الکتریکی مرتبه‌ی اول به صورت زیر نتیجه می‌شود:
(۴-۳۲)
با بازنویسی رابطه‌ی فوق بر حسب مؤلفه‌های فرکانس و استفاده از رابطه‌ی (۴-۲۸) عبارت تحلیلی زیر برای پذیرفتاری خطی به‌دست می‌آید:
(۴-۳۳)
با توجه به رابطه‌ی فوق ملاحظه می‌شود که پذیرفتاری خطی متناسب با تفاضل جمعیت ترازها، ، است. بنابراین، اگر جمعیت ترازهای و با هم برابر باشد، ، آنگاه گذار بین و هیچ سهمی در پذیرفتاری خطی نخواهد داشت. رابطه‌ی (۴-۳۳) را می‌توان به صورت زیر بازنویسی نمود:
(۴-۳۴)
با توجه به این که و و همچنین تعویض اندیس‌های و در جمع دوم نتیجه‌ی زیر به‌دست می‌آید:
(۴-۳۵)
به منظور ساده سازی رابطه‌ی بالا، فرض می‌کنیم که تمام جمعیت نوار رسانش در حالت پایه بوده و بقیه‌ی ترازها خالی از جمعیت باشند یا به عبارتی:
با انجام عمل جمع روی اندیس در رابطه‌ی (۴-۳۵) و استفاده از فرض بالا نتیجه‌ی
(۴-۳۶)
حاصل می‌شود. برای یک سیستم دو ترازه، ، رابطه‌ی بالا به
(۴-۳۷)
تبدیل می‌شود. با توجه به این که فرکانس نور فرودی مثبت است، ، فقط جمله‌ی اول در سمت راست تساوی دوم معادله‌ی (۴-۳۷) می‌تواند در حالت تشدید قرار گیرد، در حالی که جمله‌ی دوم از حالت تشدید خارج است. در نتیجه، زمانی که فرکانس به فرکانس گذار بین حالت‌های پایه و برانگیخته نزدیک شود، با یک تقریب بسیار خوب می‌توان از جمله‌ی دوم در مقایسه با جمله اول صرف نظر کرد.
بنابراین، عبارت نهایی برای پذیرفتاری خطی سیستم دو ترازه به صورت زیر به‌دست می‌آید:
(۴-۳۸)
محاسبه‌ی پذیرفتاری غیرخطی مرتبه‌ی سوم
قطبیدگی مرتبه‌ی دوم در مواردی که هندسه دارای مرکز تقارن انعکاسی است، برابر با صفر بوده و در نتیجه پذیرفتاری مرتبه‌ی دوم مربوط به چنین ساختارهایی صفر است و بر همکنش‌های غیر خطی مرتبه‌ی دوم در این مواد به وجود نمی‌آید.
برای محاسبه‌ی پذیرفتاری غیرخطی مرتبه‌ی سوم بایستی ابتدا تصحیح مرتبه‌ی سوم ماتریس چگالی را به‌دست آورد. از این روی خواهیم داشت:
(۴-۳۹)
با قراردادن تصحیح مرتبه‌ی دوم ماتریس چگالی،، و میدان الکتریکی، دررابطه‌ی بالا و اعمال انتگرال زمانی، تصحیح مرتبه‌ی سوم ماتریس چگالی به صورت زیر به‌دست می‌آید:
(۴-۴۰)
همان‌طور که ملاحظه می‌شود به ازای مقادیر مختلف تصحیح مرتبه‌ی سوم ماتریس چگالی جمله‌‌های گوناگونی را در بر می‌گیرد
بنابراین، با انجام عمل جمع روی اندیس های و با توجه به میدان‌های به کار برده شده رابطه‌ی (۴-۴۰) به صورت زیر در می‌آید.
(۴-۴۱)
