با در نظرگرفتن معادله دیفرانسیل غیرخطی داریم
?
که در آن ? عملگر غیر خطی و تابع مجهول است. هم­چنین یک تقریب اولیه برای جواب تابع کمکی، پارامتر کمکی غیر صفر،و یک عملگر خطی کمکی با این خاصیت است که اگر، آن­گاه

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

اکنون با بهره گرفتن از پارامتر هوموتوپی زیر را می­سازیم
H
فرض می­کنیم که رابطه (۵۹-۳) صفر باشد. با این فرض معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفر به صورت زیر در می ­آید
از معادله تغییر شکل یافته هوموتوپی کاملاً مشخص است که مقادیر تابع هوموتوپی به صورت زیر می­باشند
وقتی از صفر به یک افزایش می یابد، از تقریب اولیه به جواب واقعی تغییر خواهد کرد.
چنین نوع تغییر مداومی در هوموتوپی ، تغییر شکل نامیده می­ شود. دلایل بالا سبب می­ شود که به معادله (۶۰-۳) ، معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفر گفته شود.
مشتق تغییر شکل یافته مرتبه ام به­ صورت زیر تعریف می­ شود
با توجه به قضیه تیلور، بسط به­ صورت یک سری توان از می­نویسیم.
هم چنین داریم
با بهره گرفتن از رابطه (۶۱-۳) سری توانی رابطه (۶۴-۳) برای به­ صورت زیر تبدیل می­ شود
اگر تمامی پارامتر­ها درست انتخاب شود، جواب معادله تغییر شکل مرتبه صفر، برای همه مقادیر موجود است و سری توان (۶۶-۳) از در همگراست.
با توجه به روابط (۶۱-۳) ، و (۶۶-۳) داریم
رابطه (۶۷-۳) ارتباط بین جواب دقیق و تقریب اولیه را به­وسیله جملات بیان می­ کند.
:۲-۸-۳ معادله تغییر شکل یافته مرتبه بالا
یک بردار به صورت زیر تعریف می­کنیم
.
با بهره گرفتن از تعریف (۶۵-۳) معادله تعیین کننده را از معادله تغییر یافته مرتبه صفر (۶۰-۳) به­دست بیاوریم.
اگر بار از معادله تغییر یافته مرتبه صفر (۶۰-۳) ، نسبت به پارامتر مشتق گرفته و برتقسیم کرده و قرار دهیم ، خواهیم داشت
که در این رابطه
و
با قرار دادن رابطه (۶۶-۳) در رابطه (۷۰-۳) ، خواهیم داشت
عبارت سمت راست (۳-۶۸) تنها به مقادیر وابسته است. بنابراین می­توان مقادیر را با بهره گرفتن از حل معادلات خطی تغییر شکل یافته مرتبه بالای (۳-۶۸)، یکی پس از دیگری به­دست آورد.
لذا تقریب مرتبه ام در روش آنالیز هوموتوپی به­ صورت زیر در نظر گرفته می­ شود
.
:۳-۸-۳ صورت کلی معادله تغیییر شکل یافته مرتبه صفر
با توجه به تقریب مرتبه ام ، صورت کلی معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفر را بیان می­کنیم
فرض می­کنیم توابع مختلط و در ناحیه تحلیلی باشند، و در روابط زیر صدق می­ کنند
سری مکلورن برای توابع و به­ صورت زیر می­باشد
با توجه به تحلیلی بودن توابع مختلط و در ناحیه و با در نظرگرفتن رابطه (۷۳-۳) ، داریم
برای معادله تغییر شکل یافته به صورت کلی­تر، داریم
همان­گونه که می­بینیم تمامی روابط به­دست آمده مشابه هستند به­جز معادله تغییر شکل یافته مرتبه بالا که به صورت کلی در زیر نشان داده شده است
که در آن
و با توجه به تعریف
هنگامی که ، معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفر رابطه (-۳۶۰) و معادله تغییر شکل یافته مرتبه بالا از رابطه (۶۸-۳) به­دست می­آیند که حالات خاصی از روابط (۷۷-۳) و(۷۶-۳) هستند.
نکته قابل توجه در روش آنالیز هوموتوپی، انتخاب مناسب برای حدس اولیه ، عملگر کمکی خطی و تابع کمکی می باشد. این عوامل باید به­گونه ­ای باشند که جواب­های معادله تغییر شکل مرتبه بالا (۴۴-۳) موجود و قابل بیان توسط مجموعه^ء پایه­ای باشند. در روش آنالیز هوموتوپی، انتخاب نوع مناسب مجموع توابع پایه­ای، حدس اولیه ، عملگر کمکی خطی و تابع کمکی با توجه به قانون بیان جواب^[۱۱] در نظر گرفته می­ شود. قانون بیان جواب به صورت توابع چند جمله­ای ، یا به­ صورت توابع کسری، یا به­شکل توابع نمایی و یا به­ صورت توابع چند جمله­ای- نمایی می­باشد. بنابراین حل هر معادله غیر خطی با روش آنالیز هوموتوپی نیز ممکن است با بهره گرفتن از قانون­های بیان جواب متفاوت باشد. ممکن است تمامی جواب­های به­دست آمده تقریب مناسبی برای جواب مسئله ارائه دهنده و یا گاهی ممکن است بهترین جواب، تنها با بهره گرفتن از نوع خاصی از مجموعه^ء تابع پایه­ای به­دست آید.
سری تیلور تعمیم یافته، همان بسط تیلور معمولی در نقطه متفاوت است. سری تیلور تعمیم یافته سنگ بنای اصلی روش آنالیز هوموتوپی می­باشد. در این روش با بهره گرفتن از پارامتر کمکی می­توان ناحیه همگرایی را کنترل و تنظیم کرد.
۳-۹: بررسی شرایط همگرایی سری جواب در روش آنالیز هوموتوپی
یک راه برای بررسی همگرایی در سری جواب روش آنالیز هوموتوپی استفاده از آزمون نسبت است.
اگر سری به­دست آمده از روش آنالیز هوموتوپی، ، همگرا شود، آن­گاه سری جواب به جواب دقیقی از معادله همگرا خواهد بود.
برای بررسی همگرایی سری هوموتوپی مرتبه ام، مقدار را باید طوری پیدا کنیم که با بهره گرفتن از آن برای دو تقریب متوالی
باشد. زمانی­که ، فاصله دقیق برای کنترل همگرایی را به­دست می ­آید.
۱-۹-۳: قضیه همگرایی و برآوردخطا در روش آنالیز هوموتوپی