فرض كنيم از ان جايي كه ، يك حالت محض است (چون طبق تعريف1-5-6 قسمت (1) نمايش تحويل ناپذير است. چون تحويل ناپذير‌است و توسط القا مي شود. هم چنين وقتي كه ها درايه‌هاي هستند بنابراين طبق لم 3-1-2 عنصر مثبت در موجود است به طوري كه :
چون پس :
حتي اگر را با يك تصوير طيفي مناسب در ، جابجا كنيم مي‌توان فرض كرد كه خود يك تصوير است (با دانستن اين مطلب كه يك جبر فون نويمان است و جزئيات اثبات قضيه 3-2 از [11]، اين مطلب نشان داده‌شده‌است) حال از آن جايي كه يك عامل است، خانواده‌اي از طول پاهاي جزئي موجودند به طوري كه و . چون كه يك عامل است و مركز آن مجموعه ی می باشد هم چنین طبق تعريف 1-3-8 عضو اين مجموعه است پس . از طرفي طبق تعریف 1-3-8، پس بايد لذا و. به همين ترتيب در نتیجه .
اکنون طبق گزاره 12-3-6 از [9] چون عامل است و ، تصويرهايي هم ارز با چون موجودند به طوري كه و چون يك تصوير است لذا طبق گزاره 1-1-4 خانواده‌اي از طولپاهاي جزئي در موجودند به طوري كه . در نتيجه طبق تعریف هم ارزی با ، و . اکنون رابطه ( 3-3 ) به صورت زير تبديل مي‌شود :
پس چون نتیجه می شود که :
از طرفي :
پس :

بنابراين اگر ماتريس‌هاي قطري باشند كه ها روي قطر اصلي آن هستند آن‌گاه :
كه اين فاصله از تقريباً برابر صفر است (چون ) بنابراين چون :
پس .
اکنون يك شرايط كلي‌تر را در نظر مي‌گيريم يعني وقتي كه جمع مستقيم خانواده اي از نمايش‌هاي تحويل ناپذير است. آن‌گاه با توجه به تجزيه را مي‌توان به فرم نشان داد (يعني يك بردار ستوني كه ممكن است نامتناهي نيز باشد) كه هر و يك تجزيه قطري به شکل دارد كه به طوری که طولپا است. این امر ممکن است چون اگر نامتناهي البعد باشد ان گاه . در واقع اگر ان گاه چون پس متناهی البعد است از طرفی یک نمایش است پس متناهی البعد می شود که متناقض با نا متناهی البعد بودن است. حتي اگر متناهي‌البعد باشد . چون پس از طرفي يك‌به‌يك است لذا پس بايد . بنابر این را نیز می توان طولپا در نظر گرفت.
لذا طبق همان مراحل قبلي و اینکه :
از آن جايي كه ها تحويل ناپذيرند و طولپا، مشابه قسمت قبلي نتيجه مي‌شود كه . هم چنین لذا :
در نتيجه :
در نهايت، در حالت كلي ما مي توانيم نگاشت را در توپولوژي نرم- نقطه به وسيله نگاشت‌هايي به شكل ، كه جمع مستقيم نمايش‌هاي تحويل ناپذير است، تقريب بزنيم.
براي داشتن چنين تقريبي مي توان از اين حقيقت استفاده كرد كه هر حالت روي را مي‌توان در توپولوژي ضعيف ستاره با تركيب‌هاي محدب از حالت‌هاي محض تقريب زد (] 17[ نتیجه 5-1-10 هر ترکیب – محدب یک ترکیب محدب است). هم چنین طبق تعریف 1-5-6 یک حالت، محض است اگر و فقط اگر نمایش ، ، تحویل ناپذیر باشد وقتی که یک حالت روی است و یک تابعک خطی مثبت نیز است. از طرفی یک نگاشت کاملاً مثبت از به یک *- همومورفیسم است پس می توان ان را به عنوان یک نمایش در نظر گرفت که تابعک خطی مثبت (حالت ) یک نمایش را روی ان القا می کند ([13]، فصل 5).
بنابراين در هر حالت ، لذا ( چون طبق تعريف، ).
اکنون فرض كنيم يك زير مجموعه محدب فشرده ی ضعيف ستاره از باشد و يك نگاشت كاملاً مثبت يكاني آن‌گاه :
■
3-2 نقاط – فرين مجموعه‌هاي محدب فشرده ی ضعيف ستاره:
تعريف 3-2-1: فرض كنيم دو جبر فون نويمان باشند كه روي فضاي هيلبرت عمل مي‌كنند و . فرض كنيم يك نگاشت خطي مثبت از به باشد به طوري كه و براي هر و ،. هم چنین براي همه هايي كه در قرار دارند :
1) .
2) با در نظر گرفتن عنصر از ، .
3) .
تابع با خاصيت‌هاي بيان شده در (1)و (2)و (3) را اميد شرطي از به گوييم .
لم3-2-2: فرض كنيم یک جبر یکانی باشد و يك زير جبر شامل يكه به طوري كه براي هر عنصر غير صفر، اميد شرطي موجود باشد به طوري كه . اگر يك زير مجموعة محدب از باشد كه براي هر نگاشت كاملا مثبت و يكاني . آن‌گاه :
اثبات:
فرض كنيم و كه مثبت و معكوس‌پذير باشند و براي هر ،. باید نشان دهيم .
چون پس يك نقطه فرين براي مجموعه ی-محدب است و پس . بنابراين براي هر اميد شرطي طبق خاصيت‌هاي آن در تعريف 3-2-1 و خطي بودن،
در تساوي آخر چون يك نگاشت خطي يكاني كاملاً مثبت است پس :
از طرفي لذا طبق فرض قضيه براي هر نگاشت يكاني كاملاً مثبت هم چون
. در نتیجه،. هم چنين پس .
بنابراين . اکنون چون لذا از رابطه قبلي نتيجه مي‌شود كه :
چون به ازاي هر عضو طبق تعريف اميد شرطي پس و
لذا طبق خطی بودن E :

اما طبق فرض، اميد شرطي هر عنصر غير صفري را به عنصر غير صفر مي‌نگارد و در نتیجه هر عنصر صفر را به عنصر صفر مي‌نگارد. بنابراين :
اکنون با ضرب طرفين تساوي‌اول (رابطه آخر) در ها و به دليل مثبت بودن و ها نتيجه مي‌شود كه :

پس طبق] 9 [، گزاره ی 4-14 حد دنباله ای از چند جمله ای های در است. یعنی اگر دنباله ای از چند جمله ای های در باشد چون :
یک چند جمله ای در است که پس و چون این چند جمله ای ها در یک زیر جبر بسته از قرار دارند پس وقتی باید . لذا با ضرب طرفین در ( معکوس پذیر است) نتیجه می شود که :
. ■
3-3: قضيه كرين ميلمان براي مجموعه‌هاي محدب فشرده ی ضعيف ستاره در عامل‌هاي ابر متناهي:
مي‌دانيم كه قضيه كرين ميلمان^[3] طبق [16] براي مجموعه‌هاي محدب فشرده ی غير تهي در يك فضاي موضعاً محدب به اين صورت است كه . حالت ديگري از اين قضيه در [10] براي مجموعه‌هاي محدب فشرده بيان شده و در واقع كمي بعد توسط مورنز^[4] در [12] براي زير مجموعه‌هاي اثبات شده (با بهره گرفتن از كارهاي قبلي فارنيك^[5] و مورنز در [4]و [5]و [6]) . نوع ديگري از قضيه كرين ميلمان براي مجموعه‌هاي محدب ماتريسي در فضاهاي موضعاً محدب، اخيراً توسط و بستر^[6] و وینکلر^[7] در [15] اثبات شده است . روش‌هاي [12] و [15]، اگر چه متفاوت اما هر دو در بعدهاي متناهي در راههاي خاصي استفاده شده. حال در اين پايان‌نامه نوع ديگري از قضيه كرين ميلمان را براي زير مجموعه‌هاي محدب از جايي كه يك فضاي هيلبرت تفكيك‌پذير است، اثبات خواهيم كرد. اما از آن جايي كه اثبات‌هاي مشابهي براي زير‌مجموعه‌هاي يك عامل ابر متناهي موجود است، ما نتايج را براي اين عامل ها به کار می بریم.